La loi binomiale rentre dans la catégorie des lois de distribution de probabilités. Historiquement, à lumière du théorème de Moivre-Laplace, Jacques Bernoulli fut le premier à en faire mention dans son ouvrage publié en 1713 intitulé « Ars Conjectandi ». Il s’agit du fondateur des théorèmes de convergence dans le cours du 18ème siècle. La loi binomiale trouve son utilisation dans plusieurs situations sujettes à des aléas comme dans un traitement de données statistiques, dans le domaine de la génétique, dans les tirages au sort, dans la démographie, etc.
Définition de la loi binomiale
En statistique et dans le domaine des probabilités, la loi binomiale spécifie le nombre de succès après la réalisation d’une série d’expériences aléatoires similaires et indépendantes. C’est à partir d’un schéma Bernoulli qu’on peut définir la loi binomiale. Un schéma Bernoulli est l’illustration de la répétition de n expériences similaires et indépendantes ayant pour issues un échec et un succès. Pour illustration, il faut réaliser plusieurs épreuves similaires et isolées traduites chacune par un schéma de Bernoulli, le nombre d’épreuve étant déterminé par n et le nombre de succès obtenus étant déterminé par x. Dans cette expérience, on dit que « la variable aléatoire x suit une loi binomiale dont les paramètres sont n et p ».
La loi binomiale détermine ainsi le nombre de succès qu’on peut obtenir à la suite de cette expérience. Cette expérience peut être représentée de manière plus claire par un arbre pondéré ou un arbre de probabilité sur lequel on a un démembrement de deux branches sur chaque nœud qui représentent l’échec et le succès.
On peut également déterminer la probabilité de succès à partir d’une machine à calculer, mais il existe aussi, sans passer par le calcul, une table binomiale qui permet de trouver les résultats plus rapidement.
Contenu de la loi binomiale
La loi binomiale est caractérisée par la possibilité de deux résultats pour chaque expérience. Une série d’expérience est réalisée dans les mêmes conditions et aboutissent soit à un échec soit à un succès. Il faut noter que le premier résultat ici ne dépendant pas des résultats des autres expériences.
Mathématiquement, deux paramètres illustrent la loi binomiale : il y a le nombre d’expériences effectuées n et le nombre de probabilité de succès p. A chaque expérience ou épreuve de Bernoulli, la variable aléatoire sera 1 dans le cas d’un succès et 0 dans le cas d’un échec. La somme de toutes ces variables aléatoires déterminera le nombre de succès. D’après cet énoncé, on peut donc déterminer le nombre de probabilité de k succès dans une réitération de n expériences, la valeur aléatoire étant de loi binomiale.
Conditions d’application de la loi binomiale
Dans le cas d’une variable discrète, il y a deux résultats possibles : paire ou impaire, blanc ou noir, pile ou face, etc. La loi binomiale s’applique sous plusieurs conditions préalables :
- Les épreuves doivent être répétitives et être effectuées dans les mêmes conditions.
- Les épreuves doivent être indépendantes, c’est-à-dire qu’un essai ou le résultat d’un essai ne doit avoir aucune influence sur un autre essai.
- La taille de l’échantillon doit être déterminée.
- La probabilité de la réalisation de l’épreuve doit être déterminée.
- L essais admet deux résultats opposés.
A titre indicatif, dans le cas de plusieurs lancées de pièces de monnaie dans les mêmes conditions, les essais doivent être indépendants, tandis que le résultat du premier lancé ne doit avoir aucune influence sur le lancé suivant. On peut considérer le résultat pile comme un succès et le résultat face comme un échec. La probabilité de résultat « succès » étant ici ce que l’on recherche.
Résumé de la loi binomiale
Dans une expérience aléatoire, on a une probabilité de deux résultats : les probabilités de succès p et les probabilités d’échec 1-p. Dans ce processus, c’est la loi binomiale qui définit la somme des succès ou d’échecs résultant de l’expérience. On désigne cette démarche par « épreuve de Bernoulli ». Ainsi, la loi binomiale spécifie le nombre de succès ou d’échec possible lors d’une série d’expérience aléatoire similaire. Elle se range à côté des lois de distribution de probabilité telle que la distribution normale et la distribution de poisson. Comme l’objet des lois de distribution de probabilité est de déterminer les résultats d’une expérience avec leurs probabilités de résultats, elles trouvent plusieurs applications dans de très nombreux domaines d’études, dans la vie courante et même dans les jeux de hasards.
